Poprzednia

ⓘ Średnia logarytmiczna różnica temperatur




                                     

ⓘ Średnia logarytmiczna różnica temperatur

Średnia logarytmiczna różnica temperatur jest wielkością używaną do określania siły napędowej wymiany ciepła w urządzeniach przepływowych, w szczególności w wymiennikach ciepła. LMTD jest średnią logarytmiczną różnic temperatur gorącego i zimnego strumienia na wlocie i wylocie wymiennika. Im wyższa wartość LMTD, tym intensywniejsza wymiana ciepła między strumieniami.

                                     

1. Definicja

Zakładając, że typowy wymiennik ciepła ma po dwa króćce po obydwu stronach swojej obudowy po stronie A i po stronie B, którymi strumienie gorący i zimny wchodzą lub wychodzą z wymiennika, LMTD definiowana jako logarytmiczna średnia zgodnie z poniższym:

L M T D = Δ T A − Δ T B ln ⁡ Δ T A Δ T B, {\displaystyle LMTD={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \left{\frac {\Delta T_{A}}{\Delta T_{B}}}\right}},}

gdzie:

Δ T A {\displaystyle \Delta T_{A}} – różnica temperatur pomiędzy strumieniami gorącym i zimnym po stronie A, Δ T B {\displaystyle \Delta T_{B}} – różnica temperatur pomiędzy strumieniami gorącym i zimnym po stronie B.

Za pomocą tej definicji LMTD może być wykorzystana do obliczenia strumienia ciepła przekazywanego w wymienniku:

Q = U × A r × L M T D, {\displaystyle Q=U\times Ar\times LMTD,}

gdzie:

Q {\displaystyle Q} – strumień ciepła w watach, U {\displaystyle U} – współczynnikiem przenikania ciepła, A r {\displaystyle Ar} – powierzchnia wymiany ciepła.

Powyższe zależności słuszne są zarówno dla przepływu współbieżnego w którym strumienie wchodzą z tej samej strony do wymiennika, jak i dla przepływu przeciwbieżnego w którym strumienie wchodzą do wymiennika z naprzeciwległych stron jego obudowy.

W przypadku przepływu krzyżowego powyższa zależność między strumieniem ciepła a LMTD jest słuszna po uwzględnieniu współczynnika korekcyjnego. Uwzględnienie współczynnika korekcyjnego niezbędne jest również w przypadku bardziej skomplikowanych geometrii, jak np. przy wymienniku płaszczowo-rurowym z przegrodami.

                                     

2. Wyprowadzenie wzoru

Zakładając, że transport ciepła odbywa się w wymienniku wzdłuż osi z, {\displaystyle z,} od współrzędnej A {\displaystyle A} do B, {\displaystyle B,} pomiędzy dwoma płynami oznaczonymi odpowiednio 1 i 2, których temperatury wzdłuż osi z {\displaystyle z} wynoszą T 1 z {\displaystyle T_{1}z} i T 2 z. {\displaystyle T_{2}z.}

Ciepło wymienione lokalnie w z {\displaystyle z} jest proporcjonalne do różnicy temperatur:

q z = U T 2 z − T 1 z) / D = U Δ T z) / D, {\displaystyle qz=UT_{2}z-T_{1}z)/D=U\Delta \;Tz)/D,}

gdzie D {\displaystyle D} jest długością krawędzi w przekroju z {\displaystyle z} na której następuje wymiana ciepła między dwoma płynami

Przepływ ciepła między płynami powodowany jest gradientem temperatury zgodnie z prawem Fouriera:

d T 1 d z = k a T 1 z − T 2 z) = − k a Δ T z, {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,T_{1}}{\mathrm {d} \,z}}=k_{a}T_{1}z-T_{2}z)=-k_{a}\,\Delta Tz,} d T 2 d z = k b T 2 z − T 1 z) = k b Δ T z. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,T_{2}}{\mathrm {d} \,z}}=k_{b}T_{2}z-T_{1}z)=k_{b}\,\Delta Tz.}

Sumując powyższe, otrzymamy:

d Δ T d z = d T 2 − T 1 d z = d T 2 d z − d T 1 d z = K Δ T z {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,\Delta T}{\mathrm {d} \,z}}={\frac {\mathrm {d} \,T_{2}-T_{1}}{\mathrm {d} \,z}}={\frac {\mathrm {d} \,T_{2}}{\mathrm {d} \,z}}-{\frac {\mathrm {d} \,T_{1}}{\mathrm {d} \,z}}=K\Delta Tz}

gdzie K = k a + k b. {\displaystyle K=k_{a}+k_{b}.}

Całkowity strumień wymienianego ciepła wyznaczyć można, całkując ciepło wymieniane lokalnie q {\displaystyle q} w przedziale od A {\displaystyle A} do B: {\displaystyle B{:}}

Q = ∫ A B q z d z = U D × ∫ A B Δ T z d z = U D × ∫ A B Δ T d z. {\displaystyle Q=\int _{A}^{B}qzdz={\frac {U}{D}}\times \int _{A}^{B}\Delta Tzdz={\frac {U}{D}}\times \int _{A}^{B}\Delta T\,dz.}

Uwzględniając, że powierzchnia wymiany ciepła wymiennika A r {\displaystyle Ar} równa jest długości rury A − B {\displaystyle A-B} pomnożonej przez długość krawędzi przekroju D: {\displaystyle D{:}}

Q = U A r B − A ∫ A B Δ T d z = U A r ∫ A B Δ T d z ∫ A B d z. {\displaystyle Q={\frac {UAr}{B-A}}\int _{A}^{B}\Delta T\,dz={\frac {UAr\int _{A}^{B}\Delta T\,dz}{\int _{A}^{B}\,dz}}.}

Podmieniając w obydwu całkach zmienne z {\displaystyle z} na Δ T, {\displaystyle \Delta T,} otrzymujemy:

Q = U A r ∫ Δ T A Δ T B Δ T d z d Δ T d Δ T ∫ Δ T A Δ T B d z d Δ T d Δ T. {\displaystyle Q={\frac {UAr\int _{\Delta TA}^{\Delta TB}\Delta T{\frac {\mathrm {d} \,z}{\mathrm {d} \,\Delta T}}\,d\Delta T}{\int _{\Delta TA}^{\Delta TB}{\frac {\mathrm {d} \,z}{\mathrm {d} \,\Delta T}}\,d\Delta T}}.}

Po podstawieniu wyprowadzonej wcześniej zależności na Δ T {\displaystyle \Delta T} otrzymamy:

Q = U A r ∫ Δ T A Δ T B 1 K d Δ T ∫ Δ T A Δ T B 1 K Δ T d Δ T. {\displaystyle Q={\frac {UAr\int _{\Delta TA}^{\Delta TB}{\frac {1}{K}}\,d\Delta T}{\int _{\Delta TA}^{\Delta TB}{\frac {1}{K\Delta T}}\,d\Delta T}}.}

Całki w tej postaci da się łatwo rozwiązać, otrzymując znany nam wzór z definicji LMTD:

Q = U × A r × Δ T B − Δ T A ln ⁡ }}.}
                                     

3. Założenia i ograniczenia

  • Zakłada się, że szybkość tempo zmian temperatury obydwu płynów jest proporcjonalne do różnicy ich temperatur. Założenie to jest słuszne dla płynów o stałym cieple właściwym, co z dobrym przybliżeniem ma miejsce w przypadku zmiany temperatury płynów w relatywnie małym zakresie. Jednakże im większe zmiany ciepła właściwego, tym podejście do problemu z wykorzystaniem LMTD staje się coraz mniej dokładne.
  • Zakłada się również, że współczynnik przenikania ciepła U {\displaystyle U} jest stały, nie jest zaś funkcją temperatury. W przeciwnym wypadku podejście do problemu z wykorzystaniem LMTD staje się mniej dokładne.
  • Przykładami, gdzie podejście LMTD nie jest odpowiednie mogą być skraplacze i reboilery z uwagi na ciepło utajone związane z zachodzącą przemianą fazową.
  • LMTD jest z założenia koncepcją stanu ustalonego i nie może być używana w analizach dynamicznych. W szczególności, gdyby zastosować LMTD do stanu nieustalonego w którym przez krótki czas różniczki temperatury po dwóch stronach wymiennika ciepła posiadały by przeciwne znaki, argument logarytmu byłby ujemny co jest sprzeczne z definicją funkcji logarytmicznej.


                                     
  • cyframi od 0 do 9, o coraz niższej temperaturze System ten nie jest idealnie wyskalowany i ma zapas dla najwyższych temperatur klasy O0 i O1 mogą w ogóle nie
  • planeta posiada atmosferę zdolną wytworzyć tzw. efekt cieplarniany, to średnia temperatura na tej planecie może wynosić ok. 22  C, co pozwala przypuszczać
  • geometrycznych wiąże się z logarytmicznym charakterem zależności intensywności zapachu od stężenia odorantów prawo Webera - Fechnera Różnice między intensywnościami

Użytkownicy również szukali:

wymiennik ciepła kalkulator,

...
...
...