Poprzednia

ⓘ Twierdzenie Rao-Blackwella




                                     

ⓘ Twierdzenie Rao-Blackwella

Twierdzenie Rao-Blackwella:

Niech A będzie wypukłym zbiorem decyzji, i niech L a, θ {\displaystyle La,\theta} będzie wypukłą funkcją parametru a, {\displaystyle a,} dla każdego ustalonego θ {\displaystyle \theta } ze zbioru parametrów. Niech T {\displaystyle T} będzie statystyką dostateczną a d {\displaystyle d} pewną regułą decyzyjną wtedy d 0 = E d | T {\displaystyle d_{0}=Ed|T} jest regułą decyzyjną zależną tylko od T {\displaystyle T} i nie gorszą od d. {\displaystyle d.}

Dowód:

Lemat:

Niech C {\displaystyle C} będzie zbiorem wypukłym, a Z {\displaystyle Z} zmienną losową taką, że P Z ∈ C = 1 {\displaystyle PZ\in C=1} wtedy E Z ∈ C {\displaystyle EZ\in C} o ile istnieje.

A jest zbiorem wypukłym, a więc d 0 ∈ A, {\displaystyle d_{0}\in A,} czyli d 0 {\displaystyle d_{0}} jest regułą decyzyjną.

T {\displaystyle T} jest statystyką dostateczną, więc można wybrać wersję warunkowej wartości oczekiwanej niezależną od θ. {\displaystyle \theta.}

R d, ϑ = E L d, ϑ = E =Ed_{0},\vartheta=Rd_{0},\vartheta}

Co kończy dowód.

Oczywistym wnioskiem jest także to, że klasa reguł decyzyjnych jest istotnie zupełna